某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入R(x)＝4x−12x2−12，0≤x≤47.5，x＞4.（万元），假定该产品产销平衡．

Question

某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入R(x)＝

4x−(1)/(2)x2−(1)/(2)，0≤x≤4

7.5，x＞4.

（万元），假定该产品产销平衡．
（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？
（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？
（3）求该厂利润最大时产品的售价．

Answer 1

由题意得，成本函数为C（x）=2+x，
从而利润函数L(x)＝R(x)−C(x)＝

3x−0.5x2−2.5，0≤x≤4

5.5−x，x＞4.

．
（1）要使不亏本，只要L（x）≥0，
当0≤x≤4时，L（x）≥0⇒3x-0.5x²-2.5≥0⇒1≤x≤4，
当x＞4时，L（x）≥0⇒5.5-x≥0⇒4＜x≤5.5．
综上，1≤x≤5.5．
答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间．
（2）当0≤x≤4时，L（x）=-0.5（x-3）²+2，
故当x=3时，L（x）_max=2（万元），
当x＞4时，L（x）＜1.5＜2．
综上，当年产300台时，可使利润最大．
（3）由（2）知x=3，时，利润最大，此时的售价为P＝(R(3))/(3)＝2.33（万元/百台）=233元/台．