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某厂生产某种产品x(百台),总成本为C(x)(万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台,成本增加1万元,销售收入R(x)=4x−12x2−12,0≤x≤47.5,x>4.(万元),假定该产品产销平衡.

题目详情
某厂生产某种产品x(百台),总成本为C(x)(万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台,成本增加1万元,销售收入R(x)=
4x−
1
2
x2−
1
2
,0≤x≤4
7.5,x>4.
(万元),假定该产品产销平衡.
(1)若要该厂不亏本,产量x应控制在什么范围内?
(2)该厂年产多少台时,可使利润最大?
(3)求该厂利润最大时产品的售价.
▼优质解答
答案和解析
由题意得,成本函数为C(x)=2+x,
从而利润函数L(x)=R(x)−C(x)=
3x−0.5x2−2.5,0≤x≤4
5.5−x,x>4.

(1)要使不亏本,只要L(x)≥0,
当0≤x≤4时,L(x)≥0⇒3x-0.5x2-2.5≥0⇒1≤x≤4,
当x>4时,L(x)≥0⇒5.5-x≥0⇒4<x≤5.5.
综上,1≤x≤5.5.
答:若要该厂不亏本,产量x应控制在100台到550台之间.
(2)当0≤x≤4时,L(x)=-0.5(x-3)2+2,
故当x=3时,L(x)max=2(万元),
当x>4时,L(x)<1.5<2.
综上,当年产300台时,可使利润最大.
(3)由(2)知x=3,时,利润最大,此时的售价为P=
R(3)
3
=2.33(万元/百台)=233元/台.