已知：抛物线y=x2+（2m-1）x+m2-1经过坐标原点，且当x<0时，y随x的增大而减小．（1）求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，

Question

已知：抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点，且当x<0时，y随x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的取值范围；
（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为（a，b），将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²+（2m-1）x+m²-1经过坐标原点（0，0），
∴m²-1=0，
∴m=±1
∴y=x²+x或y=x²-3x，
∵当x<0时，y随x的增大而减小，
∴y=x²-3x，由函数与不等式的关系，得y<0时，0（2）①如图1，
当BC=1时，由抛物线的对称性，得点A的纵坐标为-2，
∴矩形的周长为6；
②∵A的坐标为（a，b），
∴当点A在对称轴左侧时，如图2，
矩形ABCD的一边BC=3-2a，另一边AB=3a-a²，
周长L=-2a²+2a+6．其中0(3)/(2)，当a=(1)/(2)时，L_最大=(13)/(2)，A点坐标为（(1)/(2)，-(5)/(4)），

当点A在对称轴右侧时如图3，
矩形的一边BC=3-（6-2a）=2a-3，另一边AB=3a-a²，
周长L=-2a²+10a-6，其中(3)/(2)<a<3，当a=(5)/(2)时，L_最大=(13)/(2)，A点坐标为（(5)/(2)，-(5)/(4)）；
综上所述：当0<a<(3)/(2)时，L=-2（a-(1)/(2)）²+(13)/(2)，
∴当a=(1)/(2)时，L_最大=(13)/(2)，A点坐标为（(1)/(2)，-(5)/(4)），
当(3)/(2)<a<3时，L=-2（a-(5)/(2)）²+(13)/(2)，
∴当a=(5)/(2)时，L_最大=(13)/(2)，A点坐标为（(5)/(2)，-(5)/(4)）．