已知A，B是抛物线y2=2x上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小，最小值是多少？

Question

已知A，B是抛物线y²=2x上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A，B在什么位置时，△AOB的面积最小，最小值是多少？

Answer 1

由于AB所在直线过定点P（2，0），
所以可设AB所在直线的方程为x=my+2．
由

x=my+2

y2=2x

消去x并整理得y²-2my-4=0．
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
于是|y₁-y₂|=√((y1-y2)2)=√((y1+y2)2-4y1y2)=√(4m2+16)=2√(m2+4)
S_△AOB=(1)/(2)×|OP|×（|y₁|+|y₂|）
=(1)/(2)|OP|•|y₁-y₂|=(1)/(2)×2×2√(m2+4)=2√(m2+4)．
∴当m=0时，此时A，B两点坐标为（2，2）和（2，-2）．△AOB的面积取得最小值为4．