如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A（-1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位

Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴分别交于A（-1，0），B（5，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴分别交于A（-1，0），B（5，0）两点，
∴

-1-b+c=0

-25+5b+c=0

，解得

b=4

c=5

，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（-6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=-x²+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（-6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；

（3）∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，

则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中

∠QPN=∠BEF

∠PNQ=∠EFB

PQ=BE

∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB-OF=5-1=4，
设Q（x，y），则QN=|x-2|，
∴|x-2|=4，解得x=-2或x=6，
当x=-2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=-7，
∴Q点坐标为（-2，-7）或（6，-7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（-2，-7）或（6，-7）或（4，5）．