已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=1,f(x)在x=m是取得最值,又若y=g(x)为一次函数,且f(x)+g(x)=x^2+x-2（1）求f(x)的解析式（含m的解析式）（2）若x属于-2,1时,f(x)大于-3恒成立,求实数m的取值范围

Question

已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=1,f(x)在x=m是取得最值,又若y=g(x)为一次函数,且f(x)+g(x)=x^2+x-2
（1）求f(x)的解析式（含m的解析式）
（2）若x属于【-2,1】时,f(x)大于-3恒成立,求实数m的取值范围

Answer 1

(1)设f(x)=ax^2+bx+c f(1)=a+b+c
设g(x)=kx+n
由f(x)+g(x)=x^2+x-2得a=1 ∴b+c=0
设f(x)=(x-m)^2+p=x^2-2mx+m^2+p
∴b= -2m ∴c=2m
f(x)=x^2-2mx+2m
(2)求证f(x)＞-3恒成立,即证明f(x)+3＞0恒成立 ∴x^2-2mx+2m+3＞0
对称轴x=m
(i) 当m＞1时 [-2,1]是减函数
f(x)min=f(1)=1-2m+2m+3＞0
∴m＞1
(ii)当m＜-2时,[-2,1]是增函数
f(x)min=f(-2)=4+4m+2m+3=6m+7＞0
解得m＞-7/6 ∵m＜-2 ∴m＞-7/6舍
(iii)当-2＜m＜1时
f(x)min=f(m)=m^2-2m^2+2m+3= -m^2+2m+3＞0
解得-1＜m＜3
∴-1＜m＜1
总上的 -1＜m＜1或m＞1