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已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=1,f(x)在x=m是取得最值,又若y=g(x)为一次函数,且f(x)+g(x)=x^2+x-2(1)求f(x)的解析式(含m的解析式)(2)若x属于-2,1时,f(x)大于-3恒成立,求实数m的取值范围
题目详情
已知二次函数y=f(x)的定义域为R,f(1)=1,f(x)在x=m是取得最值,又若y=g(x)为一次函数,且f(x)+g(x)=x^2+x-2
(1)求f(x)的解析式(含m的解析式)
(2)若x属于【-2,1】时,f(x)大于-3恒成立,求实数m的取值范围
(1)求f(x)的解析式(含m的解析式)
(2)若x属于【-2,1】时,f(x)大于-3恒成立,求实数m的取值范围
▼优质解答
答案和解析
(1)设f(x)=ax^2+bx+c f(1)=a+b+c
设g(x)=kx+n
由f(x)+g(x)=x^2+x-2得a=1 ∴b+c=0
设f(x)=(x-m)^2+p=x^2-2mx+m^2+p
∴b= -2m ∴c=2m
f(x)=x^2-2mx+2m
(2)求证f(x)>-3恒成立,即证明f(x)+3>0恒成立 ∴x^2-2mx+2m+3>0
对称轴x=m
(i) 当m>1时 [-2,1]是减函数
f(x)min=f(1)=1-2m+2m+3>0
∴m>1
(ii)当m<-2时,[-2,1]是增函数
f(x)min=f(-2)=4+4m+2m+3=6m+7>0
解得m>-7/6 ∵m<-2 ∴m>-7/6舍
(iii)当-2<m<1时
f(x)min=f(m)=m^2-2m^2+2m+3= -m^2+2m+3>0
解得-1<m<3
∴-1<m<1
总上的 -1<m<1或m>1
设g(x)=kx+n
由f(x)+g(x)=x^2+x-2得a=1 ∴b+c=0
设f(x)=(x-m)^2+p=x^2-2mx+m^2+p
∴b= -2m ∴c=2m
f(x)=x^2-2mx+2m
(2)求证f(x)>-3恒成立,即证明f(x)+3>0恒成立 ∴x^2-2mx+2m+3>0
对称轴x=m
(i) 当m>1时 [-2,1]是减函数
f(x)min=f(1)=1-2m+2m+3>0
∴m>1
(ii)当m<-2时,[-2,1]是增函数
f(x)min=f(-2)=4+4m+2m+3=6m+7>0
解得m>-7/6 ∵m<-2 ∴m>-7/6舍
(iii)当-2<m<1时
f(x)min=f(m)=m^2-2m^2+2m+3= -m^2+2m+3>0
解得-1<m<3
∴-1<m<1
总上的 -1<m<1或m>1
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