（2012•黄浦区二模）某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型

Question

（2012•黄浦区二模）某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用an(n∈N*)表示A型车床在第n年创造的价值．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式a_n；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项的和，Tn=(Sn)/(n)．企业经过成本核算，若T_n＞100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{b_n}是单调递减数列，则数列{(b1+b2+…+bn)/(n)}也是单调递减数列）．

Answer 1

（1）依据题意，知a₁，a₂，…，a₆构成首项为a₁=250，公差d=-30的等差数列．
故an=280-30n(n∈N*，n≤6)（万元）．     　　　　　　　　　　　　　　　　 （3分）
a7，a8，…，an(n≥7，n∈N*)构成首项为a7=(1)/(2)a6=50，公比q=(1)/(2)的等比数列．
因此，an=50•((1)/(2))n-7(n≥7，n∈N*)（万元）．　　　　　　　　　　　　　　　　　（6分）
于是，an=

280-30n(1≤n≤6)

50•((1)/(2))n-7(n≥7)

(n∈N*)（万元）．　　　　　　　　　　　　　　（7分）
（2）由（1）知，{a_n}是单调递减数列，于是，数列{T_n}也是单调递减数列．
∵S6=((a1+a6)•6)/(2)=1050（万元），T6=(S6)/(6)=175＞100（万元），
∴T_n＞100（1≤n≤6）．
∴当n≥7时，Tn=(Sn)/(n)=(1)/(n)(a1+a2+…+a6+a7+…+an)
=(1)/(n)(1050+(50(1-((1)/(2))n-6))/(1-(1)/(2)))=(1150-(100)/(2n-6))/(n)

作业帮用户 2017-10-05