求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；（2）aba+b＝169；（3）a+b是平方数．

Question

求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；　（2）(ab)/(a+b)＝169；　（3）a+b是平方数．

Answer 1

由(ab)/(a+b)＝169，可得：(ab)/(169)=a+b，即ab=169a+169b，ab-169a=169b，
a=(169b)/(b−169)，a+b=(169b)/(b−169)+b=(b2)/(b−169)，
因为a+b是平方数，所以b-169是平方数，设b-169=n²，b=n²+169；
同理可得ab-169b=169a，b=(169a)/(a−169)，a+b=(169a)/(a−169)+a=(a2)/(a−169)，a-169是平方数，
设a-169=m²，a=m²+169；于是，a+b=m²+2×169+n²．
2×169=2×13×13，或2×169=2×1×169，或2×169=2×169×1，
因为a＞b，所以m＞n，a+b是平方数，
所以，m=169，n=1，a=m²+169=169²+169=169×170，b=n²+169=1²+169=170．