求证:(n→+∞)lim(1+1/n)^n=e这个式子好像挺重要的,指数函数和对数函数的求导都是以这个定理为基础的,可是这个定理怎样证明呢?

Question

求证:(n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e
这个式子好像挺重要的,指数函数和对数函数的求导都是以这个定理为基础的,可是这个定理怎样证明呢?

Answer 1

我去,你让人家证明这个重要极限啊!这样,证明极限的方法是先证明有界,在算,e本身就是计算机算出来的,所以我只证明有界性（就是证明上式无限接近于一个数）：
根据二项式展开定理,(1+1/n)^n=1+1+(1-1/n)/2!+.+(1-1/n)/n!.(1-(n-1)/n),而(1+1/(n+1))^(n+1)=1+1+(1-1/(n+1))+...+(1-1/(n+1))/n!.(1-(n-1)/(n+1))+[1/(n+1)!]乘(1-1/(n+1)).(1-n/(n+1));比较两个展开式,后者的展开式除了比前者的多了最后一项外,从第三项开始各项都比前者相应的项大,因此(1+1/n)^n

追答：

可以这么说，函数单调有界，极限一定存在。通常认为，极限存在的准则有两个，1，设函数f(x),g(x),h(x)在Xo的某去心邻域U（U上面有个0）（Xo;σ0)内满足f(x)

作业帮用户 2016-12-02