如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F，（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．①求证：△DEF∽△CEB，②设AP=x，DF=y，求y与x的函数关

Question

如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F，
（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．
①求证：△DEF∽△CEB，
②设AP=x，DF=y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）当S_△BEC=4S_△EFC时，求AP的长．

Answer 1

（1）①∵∠DEC=∠FEB=90°，∴∠DEF=∠BEC；（1分）
∵∠EDF+∠DCP=∠BCE+∠DCP=90°，（1分）
∴∠EDF=∠BCE，∴△DEF∽△CEB．（1分）

②∵Rt△PDC中，DE⊥CP，∴∠CDP=∠CED=90°，
∴△DEC∽△PDC，∴(DE)/(EC)＝(PD)/(DC)；（1分）
∵△DEF∽△CEB，（1分）
∴(DE)/(EC)＝(DF)/(BC)，且BC=DC，
∴(PD)/(DC)＝(DF)/(DC)，∴PD=DF；（1分）
∵AP=x，DF=y，∴PD=1-x，∴y=1-x（1分）（0＜x＜1）．（1分）

（2）∵△DEF∽△CEB，∴(S△DEF)/(S△CEB)＝(DF2)/(CB2)（1），（1分）
∵(S△DEF)/(S△CEF)＝(DF)/(CF)（2），∴（1）÷（2）得(S△cEF)/(S△CEB)＝(DF•CF)/(CB2)；（1分）
又∵S_△BEC=4S_△EFC，∴(S△cEF)/(S△CEB)＝(DF•CF)/(CB2)＝(1)/(4)；（1分）
当P点在边DA上时，
有((1−x)•x)/(1)＝(1)/(4)，解得x＝(1)/(2)，（2分）
当P点在边DA的延长线上时，((1+x)•x)/(1)＝(1)/(4)，解得x＝(√(2)−1)/(2)．（1分）
∴AP=(√(2)−1)/(2)．