在区间（-1，1）内，写出下列幂级数的和函数：（1）1-x2+…+（-1）nx2n+…=11+x211+x2；（2）x−x33+…+(−1)n2n+1x2n+1+…=．

Question

在区间（-1，1）内，写出下列幂级数的和函数：
（1）1-x²+…+（-1）ⁿx²ⁿ+…=

(1)/(1+x2)

(1)/(1+x2)

；
（2）x−(x3)/(3)+…+((−1)n)/(2n+1)x2n+1+…=______．

Answer 1

（1）利用等比数列求和公式可得，在区间（-1，1）内，
1-x²+…+（-1）ⁿx²ⁿ+…=

lim

n→∞

(1+(−1)nx2n+2)/(1+x2)=(1)/(1+x2)．
（2）利用幂级数的逐项可积性质可得，
x−(x3)/(3)+…+((−1)n)/(2n+1)x2n+1+…
=

∞

n＝0

(−1)n

∫

x 0

t2ndt
=

∫

x 0

∞

n＝0

(−1)nt2ndt
=

∫

x 0

(1)/(1+t2)dt
=arctant

|

x 0

=arctanx．
故答案为：(1)/(1+x2)；arctanx．