设矩阵A=[-211;-1-21;11-2],求正交矩阵T使T^-1AT=T`AT为对角

Question

设矩阵A=[-2 1 1;-1 -2 1;1 1 -2],求正交矩阵T使T^-1AT=T`AT为对角

Answer 1

解: |A-λE|=
-2-λ 1 1
-1 -2-λ 1
1 1 -2-λ

= r3-r1
-2-λ 1 1
-1 -2-λ 1
3+λ 0 -3-λ

= c1+c3
-1-λ 1 1
0 -2-λ 1
0 0 -3-λ

= -(λ+1)(λ+2)(λ+3).
所以A的特征值为 -1,-2,-3.
(A+E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,1)^T.
(A+2E)x=0 的基础解系为 a2=(1,-1,1)^T.
(A+3E)x=0 的基础解系为 a3=(0,1,-1)^T.

单位化得
b1=(1/√2)(1,0,1)^T.
b2=(1/√3)(1,-1,1)^T.
b3=(1/√2)(0,1,-1)^T.

令T=(b1,b2,b3), 则T为正交矩阵,且满足T^-1AT=T'AT=diag(-1,-2,-3).