m,p,q符合什么条件时，有x∧2+mx+1|x∧4+px^2+q,这是大一高等代数的习题，但是我还没有头绪，求大神解答

Question

m,p,q符合什么条件时，有x∧2+ mx+1|x∧4+px^2+q,这是大一高等代数的习题，但是我还没有头绪，求大神解答

Answer 1

这其实就是一个多项式除法。
根据多项式除法p(x)=q(x)r(x)+s(x)，当q(x)|p(x)时，s(x)=0
x^4+px²+q=(x²+mx+1)[x²-mx+(m²+p-1)]+[(-m³-pm+2m)x+(q-m²-p+1)]
整除要成立，就必须(-m³-pm+2m)x+(q-m²-p+1)=0恒成立
即
-m³-pm+2m=0且q-m²-p+1=0
(1)若m=0，则q=p-1；
(2)若m≠0，第一式有m²+p=2，联立第二式有2=q+1，得q=1。所以条件是m²+p=2且q=1
综合上述：要整除需满足m=0且q=p-1，或者m²+p=2且q=1