自己琢磨出一个证明,但是怎么也搞不清它错在哪里了?命题:整数集与实数集等势.（教科书上是不等势）.证明：第一步,考虑任何一个实数总是可以写成小数,比如0.25,3.5等等.现把实数与一数对

Question

自己琢磨出一个证明,但是怎么也搞不清它错在哪里了?
命题:整数集与实数集等势.（教科书上是不等势）.
证明：第一步,考虑任何一个实数总是可以写成小数,比如0.25,3.5等等.
现把实数与一数对对应即：0.25->(0,25).3.5->(3,5).
建立一个直角坐标系.那么任何一个实数都与第一,二象限中的整数点对应.
所以实数与第一二象限的整点一一对应.
第二步.
从（0,0）开始用一条线可以将所有整点串起来,所以整点与正整数对应,
所以正整数与实数对应.
求大神给一个不等势的证明也行

Answer 1

看来楼主是数学系的,那说话就方便了,这个很好证明.
首先有个定理一个集合不能和它的幂集构成双射.
反证法：
设存在双射 f:A ---> B,
设 M = { a 属于A | a 不属于 f(a)}
设 m = f^(-1)(M).
两种情形：
1.m 属于 M.
2.m 不属于 M.
下面说明,两种情形都不可能.
先说明,比较绕,如果你没绕过来,不是我的错啊.下面开始：
情形1.m属于 M.于是 根据M的定义,m 不属于 f(m）=M.矛盾!
情形2.m不属于 M.于是 根据M的定义,m 属于 f(m）=M.矛盾!
下面证明整数的幂集的势不大于R的势.
对于一个小数0.abcdefg.
对于一个整数集的子集A,如果整数n属于A,那么在小数的第n位上取值为1,如果不属于A那么在小数的地n位取值为0,这样一个整数的幂集就和R构成了单射,因此整数的幂集的势不大于实数的势.
而整数是不能和它的幂集构成一一映射的,那么显然整数的势小于他的幂集,自然也小于实数的势.