2015届高三总复习专辑(文科)第二章函数、导数及其应用综合检测试题

Question

2015届高三总复习专辑(文科)第二章 函数、导数及其应用综合检测试题

Answer 1

第二章 导数及其应用综合检测
时间120分钟,满分150分.
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．(2010•全国Ⅱ文,7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0,b)处的切线方程是x－y＋1＝0,则(　　)
A．a＝1,b＝1　　　　　　
B．a＝－1,b＝1
C．a＝1,b＝－1
D．a＝－1,b＝－1
[答案]　A
[解析]　y′＝2x＋a,∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1,
将(0,b)代入切线方程得b＝1.
2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t,则它的速度方程为(　　)
A．v＝2sint＋2tcost＋1
B．v＝2sint＋2tcost
C．v＝2sint
D．v＝2sint＋2cost＋1
[答案]　A
[解析]　因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数,S′＝2sint＋2tcost＋1,故选A.
3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
[答案]　D
[解析]　由导数的几何意义知,曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数,y′|x＝2＝7,故选D.
4．函数y＝x|x(x－3)|＋1(　　)
A．极大值为f(2)＝5,极小值为f(0)＝1
B．极大值为f(2)＝5,极小值为f(3)＝1
C．极大值为f(2)＝5,极小值为f(0)＝f(3)＝1
D．极大值为f(2)＝5,极小值为f(3)＝1,f(－1)＝－3
[答案]　B
[解析]　y＝x|x(x－3)|＋1
＝x3－3x2＋1　(x3)－x3＋3x2＋1　(0≤x≤3)
∴y′＝3x2－6x　(x3)－3x2＋6x　(0≤x≤3)
x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表：
x (－∞,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3,＋∞)
f′(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
f(x)  无极值  极大值5  极小值1 
∴f(x)极大＝f(2)＝5,f(x)极小＝f(3)＝1
故应选B.
5．(2009•安徽理,9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8,则曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(　　)
A．y＝2x－1
B．y＝x
C．y＝3x－2
D．y＝－2x＋3
[答案]　A
[解析]　本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．
∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8,
∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4,
∴f(x)＝x2,∴f′(x)＝2x,
∴曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,切线方程为y－1＝2(x－1),∴y＝2x－1.
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9,已知f(x)在x＝－3时取得极值,则a等于(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
[答案]　D
[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋3,
∵f(x)在x＝－3时取得极值,
∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根,
∴a＝5,故选D.
7．设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x0,且g(－3)＝0,则不等式f(x)g(x)0,知F(x)在(－∞,0)内单调递增,又F(x)为奇函数,所以F(x)在(0,＋∞)内也单调递增,且由奇函数知f(0)＝0,∴F(0)＝0.
又由g(－3)＝0,知g(3)＝0
∴F(－3)＝0,进而F(3)＝0
于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示
∴F(x)＝f(x)•g(x)0时,由f′(x)＝0得x＝±a.
当x∈(－∞,－a)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增；
当x∈(－a,a)时,f′(x)0,函数f(x)单调递增．
此时x＝－a是f(x)的极大值点,x＝a是f(x)的极小值点．
20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝12x2＋lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>1时,12x2＋lnx0},
∵f′(x)＝x＋1x,故f′(x)>0,
∴f(x)的单调增区间为(0,＋∞)．
(2)设g(x)＝23x3－12x2－lnx,
∴g′(x)＝2x2－x－1x,
∵当x>1时,g′(x)＝(x－1)(2x2＋x＋1)x>0,
∴g(x)在(1,＋∞)上为增函数,
∴g(x)>g(1)＝16>0,
∴当x>1时,12x2＋lnx－3且m≠1
故当m>－3且m≠1时,函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有3个交点．