高等代数设V1,V2……Vs是V的S个非平凡子空间,证明：V中至少有一个向量不属于s个非平凡子空间中的任何一个.

Question

高等代数
设V1,V2……Vs是V的S个非平凡子空间,证明：V中至少有一个向量不属于s个非平凡子空间中的任何一个.

Answer 1

实际上在s＞2时需要加上域的特征＝0 的条件.可以对结论用反证法.
不过通常的做法是对s进行归纳的证明：s=2时,由V1的非平凡性可知有向量a不属于V1,若向量a不属于V2,结论成立；若向量a属于V2,则有向量b不属于V2,向量b不属于V1,结论成立,向量b属于V1时,可证a+b不属于V1也不属于V2.
现在考虑s＞2时,由归纳假设知,有向量a不属于V1∪...∪Vs-1,若向量a不属于Vs,结论成立.若向量a属于Vs,有向量b不属于Vs,考虑集合
W=｛ka+b|k∈域F｝,那么对任意的k∈F,有ka+b不属于Vs；而对每一个Vi（i=1,2,...,s-1）,W中至多有一个向量属于Vi（否则两个向量相减,可推出a∈Vi）,从而W中至少有一个向量y不属于V1∪...∪Vs-1（W中最多只有s-1个属于V1∪...∪Vs-1,这里用到特征＝0 的条件!),于是y不属于V1∪...∪Vs 结论得证.