高等数学定积分已知：t从0到1的f(tx)dt的定积分=1/2f(x)+1,求连续函数f(x)我是初学者

Question

高等数学定积分
已知：t从0到1的f(tx)dt的定积分=1/2f(x)+1,求连续函数f(x)
我是初学者

Answer 1

∫ [0-->1] f(tx)dt=1/2f(x)+1
本题首先要做换元法,将x从被积函数中分离出来,才能进行求导
令tx=u,t=u/x,dt=1/x du,t：0-->1,u：0-->x
原等式化为：∫ [0-->x] f(u)du/x=1/2f(x)+1
即：2∫ [0-->x] f(u)du=xf(x)+x
两边对x求导得：2f(x)=f(x)+xf '(x)+1
得f(x)=xf '(x)+1
即 df(x)/(f(x)-1)=xdx
ln|f(x)-1|=(1/2)x^2+ln|C|
得 f(x)-1=Ce^((1/2)x^2)
或 (f(x)-1)^2=Ce^(x^2)