高等函数证明方程4x=2^x在（0,1）内有且仅有一实根.先用零值定理证出函数在（0,1）区间内至少存在一个实根.然后在求函数的一阶导判断其单调性.证出函数的一阶导大于0说明他是一个单调递

Question

高等函数
证明方程4x=2^x在（0,1）内有且仅有一实根.
先用零值定理证出函数在（0,1）区间内至少存在一个实根.
然后在求函数的一阶导判断其单调性.证出函数的一阶导大于0
说明他是一个单调递增的函数.最后得证函数在（0,1）区间内有
且仅有一个实根.
1.为什么证出函数是单调增的就能得出函数在(0,1)区间有且仅有一根是
根
2.如果证出函数要是单调递减的呢?
如果是单调减还能证出有且仅有一个实根么？

Answer 1

令f(x)=4x-2^x
再求导.f'(x)=4-2^x*ln2
可知在(0,1)内该函数恒大于0
所以在(0,1)函数递增.所以在(0,1)内,最大值为f(1)=2 最小值f(0)=-1
又因为在(0,1)只有一个单调性.所以只穿过x轴一次.所以有且只有一根.
当f'(x)＜0时,该函数单调递减.
在x＞log2(4/ln2)这段区间内,递减.