利用高斯公式计算曲面积分I=∬ydydz-xdzdx+z2dxdy，其中∑是锥面z=x2+y2介于平面z=0与平面z=3之间部分的外侧．

Question

利用高斯公式计算曲面积分 I=

∬

ydydz-xdzdx+z²dxdy，其中∑是锥面z=√(x2+y2)介于平面z=0与平面z=3之间部分的外侧．

Answer 1

补平面Σ1： z=3， (x2+y2≤9)，取上侧，设∑+∑₁所围成的立体区域为Ω，则
由高斯公式，得
I=

∬

ydydz-xdzdx+z²dxdy=

∫∫∫

Ω

(2z+0+0)dxdydz-

∫∫

∑1

ydydz-xdzdx+z²dxdy
=

∫∫∫

Ω

2zdxdydz-

∫∫

x2+y2≤9

9dxdy
=

∫

3 0

2zdz

∫∫

x2+y2≤z2

dxdy-81π
=

∫

3 0

2π z3dz-81π=-(81)/(2)π．