设随机变量X~N(0.1)求E(X^2)好像要用到分部积分分部积分的过程麻烦详细一些不能直接用公式啊要原始通过积分求出的

Question

设随机变量X~N(0.1) 求E(X^2)
好像要用到分部积分
分部积分的过程麻烦详细一些
不能直接用公式啊 要原始通过积分求出的

Answer 1

不用分部积分吧,
标准正态分布满足E(X)=0,D(X)=1
所以E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1
那样用到一个结论,∫(0,+∞) e^(-kx^2)dx=√(π/k),这个可以用二重积分来证明的
然后求E(X^2)=∫x^2f(x)dx=(1/√2π) ∫(-∞,+∞) x^2e^(-x^2/2)dx
=(1/√2π)* 2∫(0,+∞) x^2e^(-x^2/2)dx
= -(√(2/π))* ∫(0,+∞) xe^(-x^2/2)d(-x^2/2)
= -(√(2/π))* ∫(0,+∞) xde^(-x^2/2)
= -(√(2/π))*[xe^(-x^2/2) - ∫(0,+∞) e^(-x^2/2)dx]
=(√(2/π))* ∫(0,+∞) e^(-x^2/2)dx
=(√(2/π))*√(π/2)
=1