微积分常用公式要全的已及二重积分的计算方法

Question

微积分常用公式要全的已及二重积分的计算方法

Answer 1

利用极坐标计算二重积分,有公式
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的.
I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy
x的积分上限是1,下限0
y的积分上限是x,下限是x��
积分区域D即为直线y=x,和直线y=x��在区间[0,1]所围成的面积,转换为极坐标后,θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围：
因为y=x��的极坐标方程为：rsinθ=r��cos��θ r=sinθ/cos��θ

因为直线y=kx和曲线y=x��的交点为(0,0),(k,k��),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos��θ],则积分I化为极坐标的积分为
I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)��+(rsinθ)��rdr
=∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos��θ])
=∫(sinθ/cos��θ)dθ(θ范围[0,π/4])
=∫(-1/cos��θ)dcosθ
=|1/cosθ|(θ范围[0,π/4])
=1/cos(π/4)-1/cos0
=√2-1