为什么A的特征值之和等于主对角线上的元素之和,行列式的值为什么等于所有特征值之积?怎么证明?

Question

为什么A的特征值之和等于主对角线上的元素之和,行列式的值为什么等于所有特征值之积?怎么证明?

Answer 1

你好

高等代数的问题嘛……
设矩阵A的特征多项式为f(t) = det (tI - A) //det表示行列式,I表示单位矩阵,t是数
将f(t)展开,按t的降幂排列：（顺便插一句,f(t)=0的解就是特征值~）
f(t) = a[n] * t^n + a[n-1] * t^(n-1) + ... + a[0] //a[i]表示下标为i
事实上,观察f(t)对应的行列式可以发现,t的n次幂只有主对角线元素相乘才能组成,因此我们可以立刻得出结论：a[n]=1；

由Vieta定理（没听过?韦达定理听过吧……一元二次方程根与系数关系的那个~推广到n维情况）可知,a[n-1]=t[1]+t[2]+……+t[n],a[0]=(-1)^n*t[1]*t[2]*……*t[n].

再次观察det (tI-A)这个行列式,也只有主对角元的乘积中才能组成t的(n-1)次幂,这个东西要严谨地说明有点复杂,简单地说,行列式的展开就是在不同的行列各取一个元素相乘再求和而成为最终结果,这个和基于拉普拉斯(Laplace)展开而定义的行列式定义是等价的.根据这个定义,我们可以找到说,若我们不是选择对角元为乘积因子,那么其次数至少会降到n-2次.而且这个(n-1)次幂比较特殊,其系数a[n-1]就是主对角元的和（矩阵的迹）.详细证明可以参考各种代数学教科书,这里仅提供个低阶的例子：

[1, 0, 0] |t-1, 0, 0|
例如A=[1, 1, 0],那么f(t)=|-1, t-1, 0| ,只有取(t-1)(t-1)(t-1)这一项里面才有t²出现,其它取法都
[0, 0, 1] |0, 0, t-1|
没有.

由上面正确而不严谨的结论可以知道,a[n-1]=主对角元元素之和=特征值之和；
至于后一结论,取t=0,则f(0) = (-1)^n*det A,因此a[0]=det A=特征值之积.

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