如何分辨一个矩阵是否拆解成两个矩阵相乘的形式?如果可以,是为什么?又怎么样分解?求高手指教,最好详细些具体些.

Question

如何分辨一个矩阵是否拆解成两个矩阵相乘的形式?
如果可以,是为什么?又怎么样分解?
求高手指教,最好详细些具体些.

Answer 1

1、首先你的提问不够精确,因为我们知道,任何一个矩阵都可以分解成它自身乘上一个单位阵.
2、其次,就一般范畴来说,你的问题相当于：对于矩阵A,是否存在矩阵B、C,使得A=BC?,又可以进一步化为下面的问题：对于矩阵A和任一给出的矩阵B,方程BX=A有没有解?我们知道根据线性方程组解存在的定义,当且仅当：rank(B)=rank(B,A)（rank为秩）,即：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩的时候,方程才有解,这是最快的判断方法.而秩的另一种说法就是：把一个矩阵按行或列分块,它最大的线性无关的行或列向量的个数就是它的秩.而在这里,如果已经有了一个矩阵B,右乘一个X相当于对B作列变换,使其变为A,这也就意味着：如果把A和B按列分块,那么A中的每一列都可以通过B的列向量组做线性变换得到.
3、如果有了A和B,我们求C时,就是根据线性方程的解法,求BX=A的解,X=B'A（B'为B的逆）,至于求逆什么的,就是矩阵的基本运算之一了,你就算现在没学,马上也会学到的.