关于微积分的,能难倒美国博士的一道微积分题目.谁能做出来对于在区间[0,1]上的所有X,定义如果x为无理数f(x)=0,如果x是有理数并且x=m/n（m和n没有除了1以外的公因子）,f(x)=1/n.（例如f(4/14)=f(2/

Question

关于微积分的,能难倒美国博士的一道微积分题目.谁能做出来
对于在区间[0,1]上的所有X,定义如果x为无理数f(x)=0, 如果x是有理数并且x=m/n（m和n没有除了1以外的公因子）,f(x)=1/n.（例如f(4/14)=f(2/7)=1/7).请证明f在区间[0,1]上可以积分.(提示：先证明给出任意e>0,在区间[0,1]上只有有限的点可以使f(x)>0)

Answer 1

f（x）就是黎曼函数,它在区间[0,1]上的积分值为0.
一个有界函数是黎曼可积的,当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0.黎曼函数的不连续点集合即为有理数集,是可数的,故其测度为0,所以由勒贝格判据,它是黎曼可积的.