1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．

Question

1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．

Answer 1

显然101是质数，假设有n个1的数为An，首先A₁是一个质数，
当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除，
当n为奇数时，An×11=111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即10²ⁿ-1，即An=(102n−1)/(99)，
即An=((10n+1)(10n−1))/(99)=[((10n+1))/(11)]×[(10n−1)/(9)]，
设((10n+1))/(11)=a，(10n−1)/(9)=b，显然b是整数，
而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除，
而10ⁿ+1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除，
所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数．
故答案为：1．