求一道纯计算的导数题.已知这2个牛顿冷却定律的公式dT/dt=k(T-Te),T(t)=Te+(T0-Te)e^kt一瓶果汁本身是21度,放入7度的冰箱里,20分钟后冷却到16度.也就是说,T0=21Te=7(冰箱温度)问,1）k等于多少?2）T(t)=?

Question

求一道纯计算的导数题.
已知这2个牛顿冷却定律的公式dT/dt=k(T-Te),T(t)=Te+(T0-Te)e^kt
一瓶果汁本身是21度,放入7度的冰箱里,20分钟后冷却到16度.
也就是说,T0=21 Te=7(冰箱温度)
问,
1）k等于多少?
2）T(t)=?
3)再过个20分钟果汁会变到多少度?
4）要把果汁放冰箱里多久才能变成10度?
5）证明 lim＝T(t)
t-->正无穷

Answer 1

(1)：
当t = 20,T₀ = 21,Te = 7,代入
T(t) = Te + (T₀ - Te) * e^(kt)
T(20) = 16 = 7 + (21 - 7) * e^(k * 20)
e^(k * 20) = 9/14
k * 20 = ln(9/14)
k = (1/20)ln(9/14) ≈ -0.0221
(2)：
T(t) = Te + (T₀ - Te) * e^[(1/20)ln(9/14) * t]
(3)：
T(20) = 16
T(20+20) = T(40) = 7 + (21 - 7) * e^[(1/20)ln(9/14) * 40]
= 179/14 ≈ 12.786°C
(4)：
T(N) = 10
7 + (21 - 7) * e^[(1/20)ln(9/14) * N] = 10
N ≈ 69.73(分钟)
(5)：
lim(t->+∞) T(t)
lim(t->+∞) {Te + (T₀ - Te) * e^[(1/20)ln(9/14) * t]}
= Te + (T₀ - Te) * 0
= Te,等于冰箱温度