勾股定理定理逆运算的证明方法,求详解

Question

勾股定理定理逆运算的证明方法,求详解

Answer 1

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.最长边所对的角为直角勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法.若c为最长边,且a��+b��=c��,则△ABC是直角三角形.如果a��+b��>c��,则△ABC是锐角三角形.如果a��+b��a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,∴FI=a,∴G,I,J在同一直线上,∵CJ=CF=a,CB=CD=c,∠CJB = ∠CFD = 90°,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上,【证法6】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD,∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,∵ ΔFAB的面积等于,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证,矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即a的平方+b的平方=c的平方【证法7】（副校长证法）已知在△ABC中,a2+b2=c2,求证∠C=90°证明：作AH⊥BC于H⑴若∠C为锐角,设BH=y,AH=x得x2+y2=c2,又∵a2+b2=c2,∴a2+b2=x2+y2（A）但a>y,b>x,∴a2+b2>x2+y2（B)（A）与（B）矛盾,∴∠C不为锐角⑵若∠C为钝角,设HC=y,AH=x得a2+b2=c2=x2+（a+y）2=x2+y2+2ay+a2∵x2+y2=b2,得a2+b2=a2+b2+2ay2ay=0∵a≠0,∴y=0这与∠C是钝角相矛盾,∴∠C不为钝角综上所述,∠C必为直角