省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|xx2+1-a|+2a+23，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数

Question

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|(x)/(x2+1)-a|+2a+(2)/(3)，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，(1)/(2)]，若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=(x)/(x2+1)，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

Answer 1

（1）当x=0时，t=0；
当0＜x≤24时，x+(1)/(x)≥2（当x=1时取“=”），
∴t＝(x)/(x2+1)＝(1)/(x+(1)/(x))∈(0，(1)/(2)]，即t的取值范围是[0，(1)/(2)]．
（2）当a∈[0，(1)/(2)]时，记g（t）=|t-a|+2a+(2)/(3)，
则g(t)＝

−t+3a+(2)/(3)，0≤t≤a

t+a+(2)/(3)，a＜t≤(1)/(2)

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，(1)/(2)]上单调递增，
且g（0）=3a+(2)/(3)，g（(1)/(2)）=a+(7)/(6)，g（0）-g（(1)/(2)）=2(a−(1)/(4))．
故M（a）=

g((1)/(2))，0≤a≤(1)/(4)

g(0)，(1)/(4)＜a≤(1)/(2)

=

a+(7)/(6)，0≤a≤(1)/(4)

3a+(2)/(3)，(1)/(4)＜a≤(1)/(2)

当0≤a≤(1)/(4)时，由a+(7)/(6)≤2，解得0≤a≤(1)/(4)；
当(1)/(4)＜a≤(1)/(2)时，由3a+(2)/(3)≤2，解得(1)/(4)＜a≤(4)/(9)．
∴当且仅当a≤(4)/(9)时，M（a）≤2．
故当0≤a≤(4)/(9)时不超标，当(4)/(9)＜a≤(1)/(2)时超标．