已知,f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x€(0.2)时,f(x)=2x²,则f(2015)=

Question

已知,f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x€(0.2)时,f(x)=2x²,则f(2015)=

Answer 1

分析：由于f（x）在R上是奇函数所以函数f（-x）=-f（x）,又由于f（x+2）=-f（x）,得其周期为4,再利用当x∈（0,2）时,f（x）=2x²,进而可以求解．
∵f（x）在R上是奇函数,
∴函数f（-x）=-f（x）,
又∵f（x+2）=-f（x）⇒f（x+4）=-f（x+2）=f（x）,
∴函数f（x） 的周期为T=4,
又f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（-1）=-f（1）,
∵当x∈（0,2）时,f（x）=2x2,∴f（1）=2,
故f（2015）=-f（1）=-2．