函数f(x)=(a²x+b)/(x²+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5（1）求a,b的值（2）证明函数f(x)在（-1,1）上为增函数（3）解关于x的不等式f(x-1)+f(x)＜0

Question

函数f(x)=(a²x+b)/(x²+1)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2/5
（1）求a,b的值
（2）证明函数f(x)在（-1,1）上为增函数
（3）解关于x的不等式f(x-1)+f(x)＜0

Answer 1

1)因为f( x）是定义在（-1,1）上的奇函数所以f(2/1)=-2/5,所以(1/2a^2+b)/[(1/2)^2+1]=2/5,( -1/2a^2+b)/(-1/2)^2+1]=-2/5,所以a=正负1b=0,f(x)=x/x^2+1或者f(x)=-x/x^2+1
2）2、
证明：
设：-1＜x1＜x2＜1
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1²+1) - x2/(x2²+1)
=[x1(x2²+1) - x2(x1²+1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
=(x1x2²+x1-x2x1²-x2) / [(x1²+1)(x2²+1)]
=[x1x2(x2-x1)-(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
=[(x1x2-1)(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
∵-1＜x1＜x2＜1,∴x1x2＜1
∴x1x2-1＜0,x2-x1＞0,x1²+1＞0,x2²+1＞0
∴f(x1)-f(x2)=[(x1x2-1)(x2-x1)] / [(x1²+1)(x2²+1)] ＜0
∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在(-1,1)上单调递增.
3）、个人感觉第三题要加一个“x-1,x∈(-1,1)”
∵x-1,x∈(-1,1),
∴x∈(0,1)
∵f(x)是奇函数
∴-f(x)=f(-x)
∴f(x-1)+f(x)