若函数f(x)=x^3+ax^2+bx为奇函数,其图象的任意一条切线方程为y=3x-4根号2.则b的值为

Question

若函数f(x)=x^3+ax^2+bx为奇函数,其图象的任意一条切线方程为y=3x-4根号2.则b的值为

Answer 1

f(x)=x³+ax²+bx
因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)
即-x³+ax²-bx=-(x³+ax²+bx)
即ax²=0
由x的任意性,得知a=0
所以f(x)=x³+b
设f(x)在点（x0,f(x0))处的切线斜率为f`(x0)
因为f`(x)=3x²+b
于是f`(x0)=3(x0)²+b
f(x)在点（x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f`(x0)(x-x0)
即y-(x0)³-bx0=((3x0)²+b)(x-x0)
整理得
y=((3x0)²+b)x-2(x0)³
与y=3x-4√2比较得
3(x0)²+b=3 2(x0)³=4√2
解得x0=√2 b=-3