如何求奇函数f(1+x)=f(1-x)的周期!真的看了好多解答方法没看懂!

Question

如何求奇函数f(1+x)=f(1-x)的周期!真的看了好多解答方法没看懂!

Answer 1

法1：因为f(x)是奇函数,所以f(-x）=-f(x),又f(1+x)=f(1-x),取x=t-1,则f(x+1)=f(t)=f(2-t)=-f(t-2)=-[-f(t-4)]=f(t-4),所以f(x)的周期为4；
法2：:函数f(1+x)=f(1-x)所以f(x)关于x=1成轴对称,而f(x)关于原点成中心对称,所以f(x)是周期函数,且T=4（1-0）=4.可以类比正余弦函数来理解.
也可以这样做：由f(1+x)=f(1-x)知f(x)=f[1+(x-1)]=f[1-(x-1)]=f(2-x)=-f(x-2)(奇函数性质）,再由f(x)=-f(x-2)得f(x-2)=-f[（x-2)-2]=-f(x-4),所以f(x)=f(x-4),所以f(x)的周期为4.