袋中有N个球,其中有白球和其他颜色球,并且白球的个数从0-N个是等可能的,每次从袋中任取一个,观察颜色后放回,如此共取K次,发现每次都是白球,问袋中只有白球的概率是多少?答案是N^K/(1+2^K+.

Question

袋中有N个球,其中有白球和其他颜色球,并且白球的个数从0-N个是等可能的,每次从袋中任取一个,观察颜色后放回,如此共取K次,发现每次都是白球,问袋中只有白球的概率是多少?
答案是N^K/(1+2^K+...+N^K)
过程怎么出来的?

Answer 1

设袋中有X个白球,白球的个数从0-n个是等可能的,
P(X=0)=P(X=1)=...=P(X=n)=1/(n+1),
把事件“每次从袋中任取一个,观察颜色后放回,如此共取K次,发现每次都是白球”记做A,则
P(A|X=i)=(i/n)^k,i=0,1,...,n.
由Bayes公式,
P(X=n|A)=P(A|X=n)P(X=n)/[P(A|X=0)P(X=0)+P(A|X=1)P(X=1)+...+P(A|X=n)P(X=n)]
=P(A|X=n)/[P(A|X=0)+P(A|X=1)+...+P(A|X=n)]
=(n/n)^k/[(0/n)^k+(1/n)^k+...+(n/n)^k]
=n^k/(1^k+2^k+...+n^k).