如图所示，某快递公司需将质量为m=200Kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨

Question

如图所示，某快递公司需将质量为m=200Kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8m．地面上紧靠轨道放置一质量M=100kg的平板车，平板车上表面与轨道末端相切．货物与平板车间的动摩擦因数为μ=0.5，平板车与水平地面间的摩擦力很小，可忽略不计．最终货物与平板车达到共同速度一起向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞．设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反，平板车足够长，使得货物总不能和墙相碰（取g=10m/s²）．
求：

（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道压力的大小；
（2）货物在平板车上滑行的总路程；
（3）平板车和墙第一次相碰以后平板车所走的总路程．

Answer 1

（1）货物从圆轨道最高点滑到最低点的过程，由机械能守恒定律得
   mgR=(1)/(2)mv2 ①
在轨道最低点，由牛顿第二定律得 F_N-mg=m(v2)/(R) ②
联立①②可得 F_N=6000N
由牛顿第三定律得货物在最低点对轨道的压力大小 F_N′=F_N=6000N
（2）货物与车最终均静止，由能量守恒定律得
   (1)/(2)mv2=μmgS_m   ③
解得货物在平板车上滑行的总路程 S_m=3.6m
（3）货物从轨道滑上平板车到保持相对静止的过程中，取向右为正方向，由动量守恒定律得
   mv=（m+M）v₀．④
从第一次碰撞后到第二次保持相对静止的过程中，由动量守恒定律得
   mv₀-Mv₀=（m+M）v₁．⑤
设平板车向左滑动的路程为s₁．
由动能定理得-μmgs₁=0-(1)/(2)M

v

2 0

 ⑥
联立①④⑤⑥得 s₁=0.8m，v₁=(1)/(3)v₀．
第二次与墙碰撞后，同理有
   mv₁-Mv₁=（m+M）v₂．⑦
-μmgs₂=0-(1)/(2)M

v

2 1

 ⑧
解 s₂=(1)/(9)s₁，v₂=(1)/(3)v₁．
根据对数据分析可知：平板车向左滑行的路程为无穷等比数列，首列 s₁=0.8m，公式 q=(1)/(9)
所以平板车和墙第一次相碰以后平板车所走的总路程 S=2（s₁+s₂+…）=2×s₁×(1)/(1-q)=1.8m
答：
（1）货物到达圆轨道末端时对轨道压力的大小是6000N；
（2）货物在平板车上滑行的总路程是3.6m；
（3）平板车和墙第一次相碰以后平板车所走的总路程是1.8m．