设a是实数，函数f（x）=4x+|2x-a|（x∈R）．（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）当a≤0时，求满足f（x）＞a2的x的取值范围；（3）求函数y=f（x）的值域（用a表示）．

Question

设a是实数，函数f（x）=4^x+|2^x-a|（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）当a≤0时，求满足f（x）＞a²的x的取值范围；
（3）求函数y=f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

（1）证明：假设f（x）是奇函数，那么对于一切x∈R，有f（-x）=-f（x），
从而f（-0）=-f（0），即f（0）=0，但是f（0）=4⁰+|2⁰-a|=1+|1-a|≠0，矛盾．
∴f（x）不是奇函数；
（2）∵2^x＞0，4^x＞0，
∴当a≤0时，f（x）=4^x+2^x-a，
由f（x）＞a²，得4^x+2^x-a＞a²，即4^x+2^x-a（a+1）＞0，（2^x-a）（2^x+a+1）＞0，
∵2^x-a＞0，
∴2^x+a+1＞0，即2^x＞-（a+1）．
①当a+1≥0，即-1≤a≤0时，2^x＞-（a+1）恒成立，
故x的取值范围是（-∞，+∞）；
②当a+1＜0，即a＜-1时，
由2^x＞-（a+1），得x＞log₂[-（a+1）]，
故x的取值范围是（log₂[-（a+1）]，+∞）；
（3）令t=2^x，则t＞0，原函数变成y=t²+|t-a|．
①若a≤0，则y=t²+t-a在t∈（0，+∞）上是增函数，值域为（-a，+∞）．
②若a＞0，则y＝

t2−t+a，0＜t≤a

t2+t−a，t＞a

，
对于0＜t≤a，有y＝(t−(1)/(2))2+a−(1)/(4)，
当0＜a＜(1)/(2)时，y是关于t的减函数，y的取值范围是[a²，a）；
当a≥(1)/(2)时，ymin＝a−(1)/(4)，
当(1)/(2)≤a＜1时，y的取值范围是[a−(1)/(4)，a)，
当a≥1时，y的取值范围是[a−(1)/(4)，a2]．
对于t＞a，有y=t²+t-a=(t+(1)/(2))2−a−(1)/(4)是关于t的增函数，
其取值范围（a²，+∞）．
综上，当a≤0时，函数y=f（x）的值域是（-a，+∞）；
当0＜a＜(1)/(2)时，函数y=f（x）的值域是[a²，+∞）；
当a≥(1)/(2)时，函数y=f（x）的值域是[a−(1)/(4)，+∞)．