已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,2）时,f（x）=2x-x^2（1）求证f（x）为周期函数（2）求证f（x）为偶函数（3）f（x）的解析式

Question

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,2）时,f（x）=2x-x^2
（1）求证f（x）为周期函数
（2）求证f（x）为偶函数
（3）f（x）的解析式

Answer 1

（1）对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),
∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴f(x)是以2为周期的函数.
（2）f(1-x)=f(1+x),
以x+1代x,得f(-x)=f(x+2)=f(x),
∴f（x）为偶函数.
（3）当x∈[0,2）时,f（x）=2x-x^2 ,
∴当x∈[2k,2k+2),k∈Z时x-2k∈[0,2),
f(x)=f(x-2k)=2(x-2k)-(x-2k)^2.