为什么两个偶函数之和是偶函数,为什么两个奇函数之和是奇函数?这是高数的一题条件，函数的定义域都是对称区间（-L，L）。这是到证明题

Question

为什么两个偶函数之和是偶函数,
为什么两个奇函数之和是奇函数?
这是高数的一题
条件，函数的定义域都是对称区间（-L，L）。这是到证明题

Answer 1

设f1(x)、f2(x)为偶函数
则 f1(x)=f1(-x)、f2(x)=f2(-x)
f(x)=f1(x)+f2(x)
f(-x)=f1(-x)+f2(-x)=f1(x)+f2(x)=f(x)
所以f(x)也是偶函数,命题得证.
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设f1(x)、f2(x)为奇函数
则 f1(x)=-f1(-x)、f2(x)=-f2(-x)
f(x)=f1(x)+f2(x)
f(-x)=f1(-x)+f2(-x)=-f1(x)-f2(x)=-[f1(x)+f2(x)]=-f(x)
即f(x)=-f(-x)
所以f(x)也是奇函数,命题得证.