已知函数f（x）=2lnx-ax．（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，0），求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）如果x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）为f（x）

Question

已知函数f（x）=2lnx-ax．
（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，0），求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）如果x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）的两个零点，f′（x）为f（x）的导数，证明：f′（(x1+2x2)/(3)）＜0．

Answer 1

（1）∵f（x）=2lnx-ax，（x＞0）；
∴f′（x）=(2)/(x)-a，∴f′（1）=2-a；
又∵f（1）=-a，
∴曲线在点（1，f（1））处的切线方程为
y-（-a）=（2-a）（x-1），
即y+a=（2-a）（x-1）；
又切线过点（2，0），
∴0+a=（2-a）（2-1），解得a=1；
（2）由（1）知，f′（x）=(2)/(x)-a，（x＞0），
①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，令f′（x）＞0，得x∈（0，(2)/(a)），∴f（x）在（0，(2)/(a)）上是增函数，
令f′（x）＜0，得x∈（(2)/(a)，+∞），∴f（x）在（(2)/(a)，+∞）上是减函数；
∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是（0，(2)/(a)），单调减区间是（(2)/(a)，+∞）；
（3）由题意知，
f（x₁）=0，f（x₂）=0，
即

2lnx1−ax1＝0

2lnx2−ax2＝0

；
则2lnx₂-2lnx₁=a（x₂-x₁），∴a=(2ln(x2)/(x1))/(x2−x1)；
又∵f′（x）=(2)/(x)−a，
∴f′（(x1+2x2)/(3)）=(6)/(x1+2x2)-a=(6)/(x1+2x2)-(2ln(x2)/(x1))/(x2−x1)；
要使f′（(x1+2x2)/(3)）＜0，只要(6)/(x1+2x2)-(2ln(x2)/(x1))/(x2−x1)＜0（*）；
∵x₂＞x₁＞0，∴x₂-x₁＞0，x₁+2x₂＞0，
（*）式可化为(3(x2−x1))/(x1+2x2)-ln(x2)/(x1)＜0，
∴(3((x2)/(x1)−1))/(2•(x2)/(x1)+1)-ln(x2)/(x1)＜0，
令t=(x2)/(x1)，则t＞1，构造函数h（t）=(3(t−1))/(2t+1)-lnt，
则h′（t）=(9)/((2t+1)2)-(1)/(t)=-((4t−1)(t−1))/(t(2t+1)2)，
显然t＞1时，h′（t）＜0，即h（t）在[1，+∞）上是减函数，
∴h（t）＜h（1）=0，即证f′（(x1+2x2)/(3)）＜0．