试讨论函数f（x）=xx2+1的单调性．

Question

试讨论函数f（x）=(x)/(x2+1)的单调性．

Answer 1

∵x＞0时，f（x）=(x)/(x2+1)=(1)/(x+(1)/(x))≤(1)/(2√(x•(1)/(x)))=(1)/(2)，
当且仅当x=1时“=”成立；
∴在x∈（0，1）时，f（x）是增函数，x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数；
当x＜0时，f（x）=(x)/(x2+1)=(1)/(x+(1)/(x))≥(1)/(−2√((−x)•(1)/(−x)))=-(1)/(2)，
当且仅当x=-1时“=”成立；
∴在x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数，x∈（-1，0）时，f（x）是增函数；
x=0时，f（0）=0；
如图所示；
综上，当x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数；
当x∈（-1，0）和x∈（0，1）时，f（x）是增函数．