如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：3．（1）求∠ADC的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：√(3)．

（1）求∠ADC的度数；
（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：√(3)．

（1）求∠ADC的度数；
（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．√(3)．

（1）求∠ADC的度数；
（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．√(3)

3

3

3

Answer 1

（1）连接AD，如图．
设BD=2k，则CD=√(3)k．
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=2k．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴cos∠ADC=(CD)/(AD)=(√(3)k)/(2k)=(√(3))/(2)，
∴∠ADC=30°；

（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，
∴∠B=∠DAB=15°．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴AC=√(AD2-CD2)=k．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴tanB=(AC)/(BC)=(k)/(√(3)k+2k)=2-√(3)，
∴tan15°=2-√(3)． √(3)

3

3

33k．
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=2k．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴cos∠ADC=(CD)/(AD)=(√(3)k)/(2k)=(√(3))/(2)，
∴∠ADC=30°；

（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，
∴∠B=∠DAB=15°．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴AC=√(AD2-CD2)=k．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴tanB=(AC)/(BC)=(k)/(√(3)k+2k)=2-√(3)，
∴tan15°=2-√(3)． (CD)/(AD)CDADCDCDCDADADAD=(√(3)k)/(2k)=(√(3))/(2)，
∴∠ADC=30°；

（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，
∴∠B=∠DAB=15°．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴AC=√(AD2-CD2)=k．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴tanB=(AC)/(BC)=(k)/(√(3)k+2k)=2-√(3)，
∴tan15°=2-√(3)． (√(3)k)/(2k)√(3)k2k√(3)k√(3)k√(3)

3

3

33k2k2k2k=(√(3))/(2)，
∴∠ADC=30°；

（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，
∴∠B=∠DAB=15°．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴AC=√(AD2-CD2)=k．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴tanB=(AC)/(BC)=(k)/(√(3)k+2k)=2-√(3)，
∴tan15°=2-√(3)． (√(3))/(2)√(3)2√(3)√(3)√(3)

3

3

33222，
∴∠ADC=30°；

（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，
∴∠B=∠DAB=15°．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴AC=√(AD2-CD2)=k．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴tanB=(AC)/(BC)=(k)/(√(3)k+2k)=2-√(3)，
∴tan15°=2-√(3)． AC=√(AD2-CD2)

AD2-CD2

AD2-CD2

AD2-CD2AD2-CD22-CD22=k．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴tanB=(AC)/(BC)=(k)/(√(3)k+2k)=2-√(3)，
∴tan15°=2-√(3)． tanB=(AC)/(BC)ACBCACACACBCBCBC=(k)/(√(3)k+2k)k√(3)k+2kkkk√(3)k+2k√(3)k+2k√(3)

3

3

33k+2k=2-√(3)

3

3

33，
∴tan15°=2-√(3)． tan15°=2-√(3)

3

3

33．