矩形ABCD，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．问当EF与AC满足什么关系时，AECF是菱形，并加以证明？

Question

矩形ABCD，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．问当EF与AC满足什么关系时，AECF是菱形，并加以证明？

Answer 1

当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分），
又∵OB=OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行），
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF，
在△BOE与△DOF中，

∠E＝∠F

∠OBE＝∠ODF

BO＝DO

，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

∠E＝∠F

∠OBE＝∠ODF

BO＝DO

∠E＝∠F

∠OBE＝∠ODF

BO＝DO

∠E＝∠F

∠OBE＝∠ODF

BO＝DO

∠E＝∠F

∠OBE＝∠ODF

BO＝DO

∠E＝∠F∠E＝∠F∠E＝∠F∠OBE＝∠ODF∠OBE＝∠ODF∠OBE＝∠ODFBO＝DOBO＝DOBO＝DO，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．