如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Question

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM=(1)/(2)AD，CN=(1)/(2)BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB＝CD

∠A＝∠C＝90°

AM＝CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=(1)/(2)AN，
∴MQ=(1)/(2)BM，
∵MP=(1)/(2)BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2)111222AD，CN=(1)/(2)BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB＝CD

∠A＝∠C＝90°

AM＝CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=(1)/(2)AN，
∴MQ=(1)/(2)BM，
∵MP=(1)/(2)BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2)111222BC，
∴AM=CN，
在△MAB和△NDC中，
∵

AB＝CD

∠A＝∠C＝90°

AM＝CN

，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=(1)/(2)AN，
∴MQ=(1)/(2)BM，
∵MP=(1)/(2)BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．

AB＝CD

∠A＝∠C＝90°

AM＝CN

AB＝CD

∠A＝∠C＝90°

AM＝CN

AB＝CD

∠A＝∠C＝90°

AM＝CN

AB＝CD

∠A＝∠C＝90°

AM＝CN

AB＝CDAB＝CDAB＝CD∠A＝∠C＝90°∠A＝∠C＝90°∠A＝∠C＝90°AM＝CNAM＝CNAM＝CN，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=(1)/(2)AN，
∴MQ=(1)/(2)BM，
∵MP=(1)/(2)BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

DM＝BN

DQ＝BP

∠MDQ＝∠NBP

DM＝BNDM＝BNDM＝BNDQ＝BPDQ＝BPDQ＝BP∠MDQ＝∠NBP∠MDQ＝∠NBP∠MDQ＝∠NBP，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=(1)/(2)AN，
∴MQ=(1)/(2)BM，
∵MP=(1)/(2)BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2)111222AN，
∴MQ=(1)/(2)BM，
∵MP=(1)/(2)BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2)111222BM，
∵MP=(1)/(2)BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形． (1)/(2)111222BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．