如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC=272，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止

Question

如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S_△ABC=(27)/(2)，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；
（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH的边上，请直接写出t的值．

Answer 1

（1）如图1，过点B作BM⊥AC于点M，
∵AC=9，S_△ABC=(27)/(2)，
∴(1)/(2)AC•BM=(27)/(2)，即(1)/(2)×9•BM=(27)/(2)，
解得BM=3．
由勾股定理，得
AM=√(AB2-BM2)=√(52-32)=4，
则tanA=(BM)/(AM)=(3)/(4)；

（2）存在．
如图2，过点P作PN⊥AC于点N．
依题意得AP=CQ=5t．
∵tanA=(3)/(4)，
∴AN=4t，PN=3t．
∴QN=AC-AN-CQ=9-9t．
根据勾股定理得到：PN²+NQ²=PQ²，
S_{正方形PQEF}=PQ²=（3t）²+（9-9t）²=90t²-162t+81（0<t<(9)/(5)）．
∵-(b)/(2a)=(-162)/(2×90)=(9)/(10)在t的取值范围之内，
∴S_最小值=(4ac-b2)/(4a)=(4×90×81-1622)/(4×90)=(81)/(10)；

（3）

①如图3，当点E在边HG上时，t₁=(9)/(14)；
②如图4，当点F在边HG上时，t₂=(9)/(11)；
③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t₃=1
④如图6，当点F边CG上时，t₄=(9)/(7)．