在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：①∠APB=120°；②AF+B

Question

在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P．如图，点点同学发现当射线AM，BN交于点C；且∠ACB=60°时，有以下两个结论：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，当AM∥BN时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明；
（2）设点Q为线段AE上一点，QB=5，若AF+BE=16，四边形ABEF的面积为32√(3)，求AQ的长．

Answer 1

（1）原命题不成立，新结论为：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），
理由：∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠NBA=180°，
∵AE，BF分别平分∠MAB，NBA，
∴∠EAB=(1)/(2)∠MAB，∠FBA=(1)/(2)∠NBA，
∴∠EAB+∠FBA=(1)/(2)（∠MAB+∠NBA）=90°，
∴∠APB=90°，
∵AE平分∠MAB，
∴∠MAE=∠BAE，
∵AM∥BN，
∴∠MAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
同理：AF=AB，
∴AF=+BE=2AB（或AF=BE=AB）；
（2）如图1，

过点F作FG⊥AB于G，
∵AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF+BE=16，
∴AB=AF=BE=8，
∵32√(3)=8×FG，
∴FG=4√(3)，
在Rt△FAG中，AF=8，
∴∠FAG=60°，
当点G在线段AB上时，∠FAB=60°，
当点G在线段BA延长线时，∠FAB=120°，
①如图2，

当∠FAB=60°时，∠PAB=30°，
∴PB=4，PA=4√(3)，
∵BQ=5，∠BPA=90°，
∴PQ=3，
∴AQ=4√(3)-3或AQ=4√(3)+3．
②如图3，

当∠FAB=120°时，∠PAB=60°，∠FBG=30°，
∴PB=4√(3)，
∵PB=4√(3)>5，
∴线段AE上不存在符合条件的点Q，
∴当∠FAB=60°时，AQ=4√(3)-3或4√(3)+3．