如图1，一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为v的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n个电子，每个电子的电荷量为-e（e＞0），质量为m．

Question

如图1，一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为v的匀速运动的低速电子组成，电子在电子束中均匀分布，沿电子束轴线每单位长度包含n个电子，每个电子的电荷量为-e（e＞0），质量为m．该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器，其前端（即图中的右端）于t=0时刻刚好到达电容器的左极板．电容器的两个极板上各开一个小孔，使电子束可以不受阻碍地穿过电容器．两极板A、B之间加上了如图2所示的周期性变化的电压U_AB（U_AB=U_A-U_B，图中只画出了一个周期的图线），电压的最大值和最小值分别为U₀和-U₀，周期为T．若以τ表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔，则电压处于最小值的时间间隔为T-τ．已知τ的值恰好使在U_AB变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边的所有的电子，能在某一时刻t_b形成均匀分布的一段电子束．设电容器两极板间的距离很小，电子穿过电容器所需要的时间可以忽略，且mv²=6eU₀，不计电子之间的相互作用及重力作用．
（1）满足题给条件的τ和t_b的值分别为τ=______T，t_b=______T．
（2）试在下图中画出t=2T那一时刻，在0～2T时间内通过电容器的电子在电容器右侧空间形成的电流I，随离开右极板距离x的变化图线，并在图上标出图线特征点的纵、横坐标（坐标的数字保留到小数点后第二位）．取x正向为电流正方向．图中x=0处为电容器的右极板B的小孔所在的位置，横坐标的单位s=√((eU0)/(m))．（本题按画出的图评分，不须给出计算过程）

Answer 1

（1）当电子通过电容的过程中，电子的动能发生变化；由于电容器所加的是周期变化的电压，所以，电子的动能变化也不相同；当A、B间加正向电压时，电子在电容器中做减速运动，设电子通过电容器后的速度为v₁；当A、B间加上反向电压时，电子在电容器中做加速运动，设电子通过电容器后的速度为v₂，由动能定理，有：
(1)/(2)m

v

2 1

＝(1)/(2)mv2−eU
(1)/(2)m

v

2 2

＝(1)/(2)mv2+eU
又mv²=6eU₀
即v=√((6eU0)/(m))
解以上几式得到：
v1＝√((4eU)/(m))
v2＝√((8eU)/(m))
依题意知道，在第一周内通过电容器的所有电子能够在某个时刻形成均匀分布的一段电子束，说明第一周期内通过电容器的两端电子束的长度相同，即：
v₁τ=v₂（T-τ）
解得：
τ=（2-√(2)）T
若在t_b时刻形成均匀分布的一段电子束，即为两段电子束刚好重叠，固有：
v₁t_b=v₂（t_b-τ）
解得：
t_b=2T
（2）设每段电子束的长度为L，则L=v₁τ，即：
L=（2-√(2)）T√((4eU)/(m))
取S=T√((eU0)/(m))
则L=1.17s
由于电子束中电子均匀分布，且以速度v匀速进入电容器，故两个电子束穿过电容器右极板时的电流强度相同，即：
I₁=I₂=env
重叠部分的电流强度为：
I=I₁+I₂=2env
当t=T时，速度为v₁的第一段电子束离开电容器右极板时的最大位移为：
x₁=v₁T
解得：
x1＝2T√((eU0)/(m))
即x₁=2s
第一段电子束末端离开电容器右极板的最小位移为：

x

′ 1

=2s-1.17s=0.83s
速度为v₂的电子束离开电容器右极板的最大位移为：
x₂=v₂（T-τ）=1.17s
两段电子束重叠的长度为：
△x=1.17s-0.83s=0.34s
当T′=2T时，速度为v₁的第一段电子束离开电容器右极板的最大位移为：
x₀=2x₁=4s
速度为v₂的第二段电子束离开电容器右极板的最大位移为：

x

′ 0

＝2√((2eU0)/(m))×(2T−τ)
代入数据得到：

x

′ 0

＝4s
故两段电子束刚好完全重合，长度为1.17s；
因为电子向右运动，故电流为负值；
由以上分析可得I-x图象如图所示（纵坐标为env）

故答案为：
（1）0.59；2；
（2）如图所示．