如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E．（1）填空：∠AEC=，AE，CE，DE之间的数量关系；（2）若M、N分别为线段AB，BC延长线上两点，

Question

如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E．

（1）填空：∠AEC=___，AE，CE，DE之间的数量关系___；
（2）若M、N分别为线段AB，BC延长线上两点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？试画图并证明之．
（3）若菱形边长为3，M、N分别为线段AB，BC上两点时，连接BE，Q是BE的中点，则AQ的取值范围是___．

Answer 1

如图1，（1）连接AC，
∵菱形ABCD中，∠ADC=60°，
∴AC=CD=BC，∠BCD=∠BAD，∠ACN=∠B=60°，
在△BCM和△CAN中，

BM=CN

∠B=∠ACN

BC=AC

，
∴△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴∠AEC=180°-（∠CAN+∠ACE）=180°-（BCM+∠ACE）=180°-∠ACB=180°-∠B=∠BAD；
故答案为：∠BAD，AE+CE=DE
（2）不成立，结论是：∠AEC+∠BAD=180°，AE=CE+DE；
如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AB=BC=CD=AC，∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠BCM=∠ACN=120°，
在△ACN和△BCM中，

CN=BM

∠ACN=∠BCM

AC=BC

，
∴△ACN≌△CBM
∴∠M=∠N，
∵∠BCM=∠NCE，
∵∠MBC=180°-（∠M+∠BCM），∠CEN=180°-（∠N+∠ECN）
∴∠MBC=∠CEN
∴∠ABC=∠AEC
∵∠ABC+∠BAD=180°
∴∠AEC+∠BAD=180°，
在EA上截取EG=CE，则△CEG为等边三角形，
∴CG=CE，∠ECG=∠ACD=60°，
∴∠ACG=∠DCE，
在△AGC和△DEC中，

AC=DC

∠ACG=∠DCE

CG=CE

，
∴△AGC≌△DEC
∴AG=DE
∴AE=EG+AG=CE+DE，
∴∠AEC+∠BAD=180°，AE=CE+DE；
∴（1）中的结论是不成立，新结论是：∠AEC+∠BAD=180°，AE=CE+DE；
（3）如图3，延长AQ至F使QF=AQ，
即：AF=2AQ，连接EF，
∵Q是BE的中点，
∴BQ=EQ，
在△ABQ和△FEQ中，

BQ=EQ

∠AQB=∠FQE

AQ=FQ

，
∴△ABQ≌△FEQ，
∴AB=EF=3，
在△AEF中，EF-AE<AF<EF+AE，
∵0<AE<AC=3，
∴3<AF<7，
∴(3)/(2)<AQ<(7)/(2)，
故答案为：(3)/(2)<AQ<(7)/(2)．