在等边三角形ABC中,P为三角形内任意一点,PA=4,PB=2倍根号3,PC=2.⑴、角BPC的度数.⑵等边三角形的边长AB?

Question

在等边三角形ABC中,P为三角形内任意一点,PA=4,PB=2倍根号3,PC=2.
⑴、角BPC的度数.⑵等边三角形的边长AB?

Answer 1

过点A作线段AD=AP,且∠BAP=∠CAD,并使B,D在AP两侧,再联结CD
(就是把△ABP旋转了60°至△ACD)
1)因为AB=AC,∠BAP=∠CAD,AP=AD
所以△ABP全等于△ACD
所以CD=BP=2√3,∠BAP=∠CAD
所以∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD
即∠PAD=∠BAC=60°
因为AP=AD,∠PAD=60°
所以△ADP是等边三角形
所以PD=AP=4
在△CDP中,DP^2=4^2=16,CP^2+CD^2=(2√3)^2+2^2=16
所以DP^2=CP^2+CD^2
所以∠DCP=90°,△CDP是直角三角形
又PC=PD/2
所以∠CDP=30°,∠CPD=60°
所以∠BAP=∠ACD=∠ADP+∠CDP=60°+30°=90°
∠APC=∠APD+∠CPD=60°+60°=120°
∠BPC=360°-∠BAP-∠APC=360°-90°-120°=150°
2)在Rt△ABP中,∠APB=90°
所以AB=√(AP^2+BP^2)=√(4^2+(2√3)^2)=2√7