三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如右图．（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；（2）在BC边上是否存在一点D

Question

三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如右图．
（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；
（2）在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，sinA=(BC)/(AB)=(1)/(2)．
∴∠A=30°=∠EDF，AC=AB•cos30°=6√(3)•
△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，
∴∠DFE=∠DEF=75°
∴∠DFC=30°，
∴DF=2DC=AF，CF=√(3)DC，
∴√(3)DC+2DC=6√(3)，
∴DC=12√(3)-18，CF=√(3)DC=36-18√(3)
∴△DCF的面积s=378√(3)-648；  
（2）不存在．理由如下：
在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，
因为∠EDF=30°．
如果△DEF和△BDE相似，则∠BDE和∠BED必须有一个等于30°，显然当D点与C点重合的时候∠BDE最小，此时∠BDE=6 O°，
所以∠BDE不可能等于30°，
如果∠BED=30°，那么∠BDE=90°，而∠DEF=75°，
所以△DEF和△BDE不能相似，
所以，在BC边上不存在点D，使以D、E、F为顶点的三角形和以D、E、B为顶点的三角形相似．