在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的

Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

Answer 1

（1）如图1，

在矩形ABCD中，
∵∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=√(5)，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴(AP)/(CD)=(PB)/(PC)，即(1)/(2)=(√(5))/(PC)．
∴PC=2√(5)．

（2）①∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G，如图2．

∵∠A=∠B=∠AGF=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，四边形ABFG是矩形．
∴GF=AB=2．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠GPF=∠AEP．
∴△GPF∽△AEP．
∴(PF)/(PE)=(GF)/(AP)=(2)/(1)=2．
在Rt△EPF中，
∵tan∠PEF=(PF)/(PE)=2，
∴∠PEF的大小不变．
②取EF的中点Q，连接BQ，PQ，PB，如图3．

∵∠EBF=∠EPF=90°，点Q为EF的中点，
∴QP=(1)/(2)EF=QB，
∴点Q在线段PB的垂直平分线上．
如图4，

当点E在点B处时，点Q在BC中点Q₁处；
当点E在点A处时，点Q在PB的中点Q₂处．
根据三角形中位线定理得Q₁Q₂=(1)/(2)PC=√(5)．
所以从开始到停止，线段EF的中点Q所经过的路线长Q₁Q₂为

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