（2012•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状

Question

（2012•潍坊）如图，三角形ABC的两个顶点B、C在圆上，顶点A在圆外，AB、AC分别交圆于E、D两点，连接EC、BD．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）若△BEC与△BDC的面积相等，试判定三角形ABC的形状．

Answer 1

（1）证明：∵弧ED所对的圆周角相等，
∴∠EBD=∠ECD，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE；

（2）方法1：因为S_△BEC=S_△BCD，
S_△ACE=S_△ABC-S_△BEC，S_△ABD=S_△ABC-S_△BCD，
所以S_△ACE=S_△ABD，
又由（1）知△ABD∽△ACE，
所以对应边之比等于1，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形；

方法2：如图，连接DE．
因为△BEC与△BCD的面积相等，有公共底边BC，所以高相等，
即E、D两点到BC的距离相等，所以ED∥BC，
∴

BE

=

CD

，
∴∠ECB=∠DBC，
又因为∠EBD=∠ECD，
所以∠ABC=∠ACB，
即△ABC为等腰三角形．