观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为

Question

观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．

（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（3）将（2）中点P变为两个点P₁、P₂得下图，试观察比较四边形BP₁P₂C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（4）将（3）中的点P₁、P₂移至△ABC外，并使点P₁、P₂与点A在边BC的异侧，且∠P₁BC<∠ABC，∠P₂CB<∠ACB，得图，试观察比较四边形BP₁P₂C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（5）若将（3）中的四边形BP₁P₂C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B₁P₁P₂C₁，如图⑤，试观察比较四边形B₁P₁P₂C₁的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）BP+PC（2）△BPC的周长<△ABC的周长．理由：
如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM
（3）四边形BP₁P₂C的周长<△ABC的周长．理由：
如图，分别延长BP₁、CP₂交于M，由（2）知，BM+CM1P₂1M+P₂M，可得，BP₁+P₁P₂+P₂C或：作直线P₁P₂分别交AB、AC于M、N（如图），△BMP₁中，BP₁1，△AMN中，MP₁+P₁P₂+P₂M2NC中，P₂C2N+NC，三式相加得：BP₁+P₁P₂+P₂C
（4）四边形BP₁P₂C的周长<△ABC的周长．理由如下：将四边形BP₁P₂C沿直线BC翻折，使点P₁、P₂落在△ABC内，转化为（3）情形，即可．
（5）比较四边形B₁P₁P₂C₁的周长<△ABC的周长．理由如下：
如图，分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H，在△BNM中，NB₁+B₁P1+P₁M1C₁+C₁K1+NC+CK，及C₁P₂+P₂H1K+AK+AH，及P₁P₂2H+MH+P₁M，将以上各式相加，得B₁P₁+P₁P₂+P₂C+B₁C₁